【高中数学公式归纳】在高中阶段，数学的学习内容逐渐加深，涉及的知识点也越来越多。为了帮助学生更好地掌握和复习数学知识，以下是对高中数学中常用公式的系统归纳，结合文字说明与表格形式进行整理，便于理解和记忆。
一、代数部分
1. 二次方程的求根公式
对于形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程（$ a \neq 0 $），其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中，判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $，决定了方程的根的情况：
- 当 $ \Delta > 0 $，有两个不相等的实根；
- 当 $ \Delta = 0 $，有一个实根（重根）；
- 当 $ \Delta < 0 $，无实根，有两共轭复根。
2. 因式分解公式
- 平方差公式：$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
- 完全平方公式：$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $，$ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $
- 立方和/差公式：$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $，$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
3. 指数与对数公式
- 指数运算法则：
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
- $ (a^m)^n = a^{mn} $
- 对数运算法则：
- $ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $
- $ \log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N $
- $ \log_a (M^n) = n \log_a M $
二、三角函数部分
1. 基本三角恒等式
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 和角与差角公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
- $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $
3. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $
三、数列与数学归纳法
1. 等差数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $）
3. 数学归纳法步骤
1. 验证 $ n = 1 $ 时命题成立；
2. 假设 $ n = k $ 时命题成立，证明 $ n = k + 1 $ 时也成立。
四、立体几何与解析几何
1. 空间几何体体积与表面积
| 几何体 | 体积公式 | 表面积公式 |
| 正方体 | $ a^3 $ | $ 6a^2 $ |
| 长方体 | $ abc $ | $ 2(ab + bc + ac) $ |
| 圆柱体 | $ \pi r^2 h $ | $ 2\pi r(h + r) $ |
| 圆锥体 | $ \frac{1}{3}\pi r^2 h $ | $ \pi r(r + l) $（l为斜高） |
| 球体 | $ \frac{4}{3}\pi r^3 $ | $ 4\pi r^2 $ |
2. 直线与圆的方程
- 直线的一般式：$ Ax + By + C = 0 $
- 圆的标准方程：$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
- 圆的一般式：$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $
五、概率与统计
1. 概率基本公式
- 事件 $ A $ 的概率：$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} $
- 互斥事件：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 独立事件：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
2. 统计基本概念
- 平均数：$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} $
- 方差：$ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} $
- 标准差：$ s = \sqrt{s^2} $
六、导数与微积分基础
1. 常见导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
2. 微分法则
- 加法法则：$ (f + g)' = f' + g' $
- 乘法法则：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法则：$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
总结表格（汇总版）
| 类别 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 代数 | 二次方程求根 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 平方差 | $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ | |
| 完全平方 | $ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $ | |
| 三角函数 | 三角恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 和角公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | |
| 数列 | 等差数列通项 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | |
| 立体几何 | 球体积 | $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $ |
| 圆柱表面积 | $ S = 2\pi r(h + r) $ | |
| 概率统计 | 互斥事件概率 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $ |
| 方差 | $ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} $ | |
| 导数 | 常见导数 | $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $ |
通过以上系统的归纳与整理，可以更清晰地掌握高中数学的核心公式与知识点，有助于提高学习效率和应试能力。建议在复习过程中多做练习题，以巩固理论知识并提升实际应用能力。
