【常用求导公式】在微积分的学习和应用中，求导是基本且重要的操作。掌握常用的求导公式，有助于提高解题效率，特别是在处理函数的极值、变化率以及曲线分析等问题时。以下是对常见函数求导公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数形式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(g(x)) $，则其导数为：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
五、导数的四则运算法则
设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 均可导，则有：
| 运算 | 公式 |
| 加法 | $ (f + g)' = f' + g' $ |
| 减法 | $ (f - g)' = f' - g' $ |
| 乘法 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 除法 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） |
六、高阶导数简介
高阶导数是指对原函数连续求导多次得到的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
高阶导数在物理、工程等领域中常用于描述加速度、曲率等。
总结
掌握常见的求导公式是学习微积分的重要基础。通过理解这些公式的结构和应用场景，可以更高效地进行数学建模与问题求解。建议在实际练习中多结合例题进行巩固，以提升灵活运用的能力。
