【什么是两点分布】两点分布，又称伯努利分布（Bernoulli Distribution），是概率论中最基础的离散型概率分布之一。它描述的是一个只有两种可能结果的随机试验，通常称为“成功”和“失败”。在实际应用中，两点分布广泛用于表示二元事件的概率模型，如抛硬币、产品是否合格等。
两点分布的核心特点是：每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果的概率之和为1。设成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1 - p $，则可以定义该分布的数学形式。
以下是对两点分布的详细总结：
一、基本概念
| 概念 | 内容 |
| 定义 | 两点分布是指一个随机变量只取两个值的分布，通常为0和1。 |
| 试验类型 | 二元试验（成功或失败） |
| 随机变量 | 通常用 $ X $ 表示，$ X = 1 $ 表示成功，$ X = 0 $ 表示失败 |
| 参数 | 成功概率 $ p $，其中 $ 0 \leq p \leq 1 $ |
二、概率质量函数（PMF）
两点分布的概率质量函数如下：
$$
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & x = 1 \\
1 - p, & x = 0
\end{cases}
$$
其中，$ p $ 是成功发生的概率，$ 1 - p $ 是失败发生的概率。
三、期望与方差
| 统计量 | 公式 | 含义 |
| 期望（均值） | $ E(X) = p $ | 表示长期平均结果 |
| 方差 | $ Var(X) = p(1 - p) $ | 表示数据的离散程度 |
四、应用场景
| 场景 | 说明 |
| 投掷硬币 | 正面为成功，反面为失败 |
| 产品质量检测 | 合格为成功，不合格为失败 |
| 市场调研 | 是/否回答 |
| 医疗诊断 | 病例为阳性/阴性 |
五、与其他分布的关系
- 二项分布：两点分布是二项分布在 $ n = 1 $ 时的特例。
- 几何分布：描述首次成功前的试验次数，与两点分布有关联。
- 负二项分布：描述第 $ r $ 次成功所需的试验次数，也与两点分布相关。
六、总结
两点分布是概率论中最为简单但应用广泛的分布之一。它适用于所有只有两种结果的随机试验，并能为更复杂的分布模型提供基础。理解两点分布有助于更好地掌握统计学中的其他重要概念，如二项分布、泊松分布等。
通过表格的形式可以清晰地展示其定义、公式、参数及应用，便于学习和记忆。
