【三角函数公式总结大全】在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能提高对三角函数的理解和应用能力。本文将系统地总结常见的三角函数公式，并以表格形式进行整理，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦 | sinα = y | 对边与斜边的比值 |
| 余弦 | cosα = x | 邻边与斜边的比值 |
| 正切 | tanα = y/x | 对边与邻边的比值 |
| 余切 | cotα = x/y | 邻边与对边的比值 |
| 正割 | secα = 1/cosα | 斜边与邻边的比值 |
| 余割 | cscα = 1/sinα | 斜边与对边的比值 |
二、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | secα = 1 / cosα；cscα = 1 / sinα；cotα = 1 / tanα |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 三角函数表达式 |
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα；cos(α + 2π) = cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα；cos(π + α) = -cosα |
| 2π - α | sin(2π - α) = -sinα；cos(2π - α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα；cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα；cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2 sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2 tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα sinβ | [sin(α + β) - sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
九、反三角函数简要公式
| 函数名称 | 表达式 |
| arcsin(x) | 反正弦函数，定义域[-1, 1] |
| arccos(x) | 反余弦函数，定义域[-1, 1] |
| arctan(x) | 反正切函数，定义域为全体实数 |
十、常用特殊角三角函数值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 不存在 |
通过以上内容的整理，可以看出三角函数公式种类繁多，但它们之间有着紧密的联系。熟练掌握这些公式，不仅能提升解题效率，还能增强对三角函数整体结构的理解。建议结合图形和实际问题进行练习，加深记忆与应用能力。
