在数学中，向量是一个非常重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。当我们提到“两向量垂直相乘等于0”时，实际上是在讨论向量的点积（也称为内积）运算。那么，为什么当两个向量垂直时，它们的点积结果会是0呢？这背后有着深刻的几何与代数原理。

首先，我们需要明确什么是向量的点积。对于两个二维或三维空间中的向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，它们的点积定义为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2

$$

在三维空间中，这个公式可以扩展为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

点积的结果是一个标量，而不是向量。它不仅反映了两个向量之间的长度关系，还与它们之间的夹角有关。

接下来，我们引入一个关键的公式：向量的点积还可以用它们的模长和夹角来表示：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta

$$

其中，θ 是两个向量之间的夹角。当 θ = 90°（即两个向量垂直）时，cosθ = 0，因此整个点积的结果也为0。

这就是为什么说“两向量垂直相乘等于0”的原因——因为它们的点积在角度为90度时为零。

但为什么这种几何现象会对应到代数上的0呢？我们可以从几个角度来理解：

1. 几何直观

当两个向量互相垂直时，它们的方向完全不相关。想象一下，在平面上画出两个互相垂直的箭头，一个水平，一个竖直。它们之间没有“重叠”的方向，因此在投影上不会产生任何共同的分量。这种“无重合”正是点积为0的原因。

2. 代数推导

假设两个向量 a 和 b 垂直，那么根据点积的定义，我们可以写出：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = 0

$$

这意味着它们的各个对应分量的乘积之和为零。如果这两个向量分别沿着坐标轴方向（如 a = (1, 0) 和 b = (0, 1)），那么它们的点积显然为0，这也符合垂直的定义。

3. 应用背景

在物理学中，点积常用于计算力在某个方向上的分量。例如，当一个力作用在物体上，而物体的运动方向与力的方向垂直时，这个力对物体做功为零。这也是为什么在力学中，“垂直方向的力不做功”的说法成立。

综上所述，“两向量垂直相乘等于0”并不是一个简单的数学巧合，而是由向量的点积定义及其与夹角的关系所决定的。这种特性在数学和科学中具有广泛的应用价值，帮助我们更深入地理解向量之间的相互作用。

因此，当我们看到“两向量垂直相乘等于0”这句话时，其实是在揭示一个简洁而深刻的事实：在几何世界中，垂直意味着“无关联”，而在代数世界中，这表现为点积为零。