在数学中，二次函数是描述抛物线形状的重要工具，而顶点式是其表达形式之一。当已知二次函数的顶点坐标时，我们可以利用这一条件来确定函数的具体解析式。这种问题在中学数学中较为常见，掌握解题方法对于学习和考试都至关重要。

一、二次函数顶点式的标准形式

二次函数的一般顶点式为：

\[ y = a(x - h)^2 + k \]

其中，\( (h, k) \) 是抛物线的顶点坐标，\( a \) 是一个常数，表示抛物线开口的方向和宽度。如果 \( a > 0 \)，抛物线开口向上；若 \( a < 0 \)，则开口向下。

二、解题步骤详解

1. 确定顶点坐标

题目通常会明确给出顶点坐标 \( (h, k) \)，这是解题的第一步。例如，假设顶点坐标为 \( (2, -3) \)，则可以初步写出函数的形式为：

\[ y = a(x - 2)^2 - 3 \]

2. 寻找补充条件

为了确定 \( a \) 的具体值，我们需要额外的信息。常见的补充条件包括：

- 抛物线上另一点的坐标；

- 函数图像与坐标轴的交点；

- 函数的最大值或最小值等。

以抛物线上另一点为例，假如抛物线还经过点 \( (4, 5) \)，将其代入上述方程可得：

\[ 5 = a(4 - 2)^2 - 3 \]

化简后得到：

\[ 5 = 4a - 3 \]

进一步解得：

\[ a = 2 \]

3. 完成函数解析式

将 \( a = 2 \) 代入顶点式公式，最终得到函数解析式为：

\[ y = 2(x - 2)^2 - 3 \]

三、注意事项

1. 符号准确性：在计算过程中，注意符号的变化，尤其是负号的处理。

2. 验证结果：完成解析式后，可以通过代入已知点再次验证是否满足条件。

3. 特殊情况：如果题目中未明确 \( a \) 的正负，需结合实际情境判断。

四、实例演练

例题：已知抛物线的顶点坐标为 \( (-1, 4) \)，且经过点 \( (2, 19) \)，求其解析式。

解答：

1. 初始表达式为：\[ y = a(x + 1)^2 + 4 \]

2. 将点 \( (2, 19) \) 代入，得：

\[ 19 = a(2 + 1)^2 + 4 \]

\[ 19 = 9a + 4 \]

\[ 9a = 15 \]

\[ a = \frac{5}{3} \]

3. 最终解析式为：

\[ y = \frac{5}{3}(x + 1)^2 + 4 \]

通过以上分析可以看出，利用顶点式求解二次函数的关键在于合理运用已知条件，并逐步推导出未知参数的值。希望这些内容能帮助大家更好地理解和解决此类问题！