在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的知识点，而关于它们的导数运算更是考察学生综合能力的一个重要方面。今天我们来探讨一个具体的例子：函数 \( f(x) = \tan x + \cot x \) 的导数。

首先回顾一下基本的三角函数定义与性质：

- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)，其定义域为 \( x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \)。

- \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)，其定义域为 \( x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z} \)。

接下来，我们对函数 \( f(x) = \tan x + \cot x \) 求导。根据导数的基本运算法则，即两函数和的导数等于各自导数之和：

\[ f'(x) = (\tan x)' + (\cot x)' \]

利用已知的三角函数导数公式：

- \( (\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \)

- \( (\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} \)

因此，我们可以得到：

\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \]

进一步化简，将两项通分为同一个分母：

\[ f'(x) = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \]

注意到分子 \( \sin^2 x - \cos^2 x \) 可以使用三角恒等式 \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \)，所以 \( \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x \)。代入后得到：

\[ f'(x) = \frac{-\cos 2x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \]

最后一步，可以将分母部分结合为 \( \frac{1}{4} \sin^2 2x \)（利用 \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)），从而最终结果可以写成：

\[ f'(x) = -\frac{4\cos 2x}{\sin^2 2x} \]

总结一下，对于函数 \( f(x) = \tan x + \cot x \)，其导数为：

\[ f'(x) = -\frac{4\cos 2x}{\sin^2 2x} \]

这一过程不仅帮助我们复习了三角函数的基础知识，还训练了灵活运用导数法则的能力。希望这个例子能加深大家对相关概念的理解！